استعمال

نظريــة النقطة الثابتة في الانحدار المضبب

مع تطبيق عملي

رسالة مقدمة إلى

مجلس كلية الإدارة والاقتصاد – جامعة كربلاء
وهي جزء من متطلبات نيل درجة الماجستير علوم في الاحصاء

تقدم بها الطالب
نعيم مالك جاسم
بأشراف

أ.د.مشتاق كريم عبد الرحيم

ملخص الرسالة

يعد إنموذج الانحدار الضبابي Fuzzy Regression Model (FRM) من نماذج الانحدار
المهمة التي تستعمل لتثميل البيانات التي تتصف بالغموض وعدم الدقة وخصوصاً متغير
الاستجابة لغرض التنبؤ بالظاهرة المدروسة وفق دوال الانتماء المختلفة لبياناته ومعلماته او
لبعضها واشهرها دالة الانتماء المثلثية Triangular membership function والتي يُعتمد
عليها في تمثيل كل مشاهدة بالعدد الضبابي وبحسب نوع دالة الانتماء.لقد تم التركيز على تحسين
عملية تقدير معلمات الانموذج من خلال توضيف نظرية النقطة الثابتة اعتمدت الدراسة على
ثلاث طرائق رئيسية للتقديروهي طريقة المربعات الصغرى الضبابية ( FLS ) وطريقة نيوتن-
رافسون وفق مبدأ النقطة الثابتة ((N-R(FP ) وخوارزمية التوقع-التعظيم (E-M(FP ) ، وتم
إجراء محاكاة لبيانات مختلة الأحجام والمستويات لغرض المقارنة بين الطرائق الثلاث.
وأظهرت النتائج أن طريقة نيوتن-رافسون ( N-R(FP ) هي الأكثر كفاءة إذ أعطت أقل قيم
لمقاييس الخطأ وكانت الأقرب لتمثيل القيم الحقيقية امتغير الاستجابة .وفي هذه الرسالة تم
استعمال نظرية النقطة الثابتة Fixed Point Theorem من خلال توظيف خصائصها لتقدير
معلمات إنموذج الانحدار الضبابي والتي تشترط ثبات نقطة التقدير ( المخرجات) رغم تغير
المدخلات للدالة ولتحقيق هذا التحسين لابد من الاعتماد على الطرائق التكرارية وفق مبدأ النقطة
الثابتة في التقدير للوصول الى التقارب المطلوب اي تساوي او عدم وجود اختلاف جوهري بين
تقديرين لكل من معلمات إنموذج الانحدار الضبابي FRM ، ولذا تم استعمال طريقة المربعات
الصغرى الضبابية (FLS ) وطريقة نيوتن – رافسون Newton-Raphson(Fixed Point)
(N-R(FP) و خوارزمية تعظيم التوقع Expectation-Maximization(Fixed Point)
(E-M(FP) .تم اجراء المحاكاة لغرض المقارنة بين ثلاث طرائق تقدير معلمات إنموذج
الانحدار الضبابي FRM لتحديد الافضل منها وهي طريقة نيوتن -رافسون N-R(FP)
،وخوارزمية تعظيم التوقع E-M(FP) وطريقة المربعات الصغرى الضبابيةFLS ولاحجام
عينات (10,20,35,50,75,100) وبقيم معامل ضبابية (مستوى القطع ) مختلفة هي (0.1,0.5
, 0.8) ، وقد اظهرت نتائج المحاكاة تفوق طريقة نيوتن-رافسون N-R(FP) على باقي الطرائق
لامتلاكها اقل قيم لمقاييس المفاضلة ومنها متوسط مربعات الخطأ MSE وAIC و AICc و
BIC و HQC و SHWZ. فضلاً عن انها كانت الاقرب تمثيلاً لتقدير قيم متغير الاستجابة مما
يدل على كفاءة التقدير بهذه الطريقة. واعتمادا على ذلك تم تحليل بيانات حقيقية عن مرضى

2

المتلازمة التنفسية الحادة الشديدة – كورونا 2 في احدى مستشفيات محافظة كربلاء.ومن اهم
الاستنتاجات التي توصلت اليها الرسالة ان طريقة نيوتن-رافسون N-R(FP) الافضل في عملية
التقدير وتمثيل بيانات إنموذج الانحدار ( الضبابي ) اذ ان خصائص وتحقق شروط نظرية النقطة
الثابتة ادى الى تحسين طريقة المربعات الصغرى الضبابية
FLS ولذا اوصت الرسالة باعتمادها في عملية التقدير وميزات اختبار طريقة النقطة الثابتة هو
توفر اطار رياضياً يضمن وجود وتفرد الحلول التقديرية مع الاستقرار والتقارب وتحسين الطرق
التقليدية مما يزيد كفاءة التقدير.والذي يجعل النقطة الثابتة مناسبة لتحسين التقديات هو الأساس
الرياضي لان وجود نقطة وحيدة يضمن وجود معلمات مستقرة تحت شروط معينة ويستعمل
كوسيلة تحسين تجريبية في التطبيق العملي.